Перестройка Морса

Хирургия или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.

Важная роль хирургии в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения [math]\displaystyle{ f:M \to X }[/math] замкнутого многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] в клеточное пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] существуют такой бордизм [math]\displaystyle{ (W; M, N) }[/math] и такое отображение [math]\displaystyle{ F:W \to X }[/math], что [math]\displaystyle{ F|_M=f }[/math], а [math]\displaystyle{ F|_N :\to X }[/math] является гомотопической эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью хирургий уничтожить ядра гомоморфизмов [math]\displaystyle{ f^*:\pi_k(M)\to \pi_k(X) }[/math] (где [math]\displaystyle{ \pi_k }[/math] — гомотопические группы). Если это удаётся, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической L-теории^[en].

Конструкция

Пусть [math]\displaystyle{ V }[/math] — гладкое [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена [math]\displaystyle{ (k-1) }[/math]-мерная сфера [math]\displaystyle{ S^{k-1} }[/math]. Предположим, что нормальное расслоение сферы [math]\displaystyle{ S^{k-1} }[/math] в многообразии [math]\displaystyle{ V }[/math] тривиально, то есть что замкнутая трубчатая окрестность [math]\displaystyle{ T }[/math] сферы [math]\displaystyle{ S^{k-1} }[/math] в [math]\displaystyle{ V }[/math] разлагается в прямое произведение [math]\displaystyle{ T=S^{k-1}\times D^{n-k+1} }[/math], где [math]\displaystyle{ D^{n-k+1} }[/math] — диск размерности [math]\displaystyle{ n-k+1 }[/math]. Выбрав такое разложение, вырежем из [math]\displaystyle{ V }[/math] внутренность окрестности [math]\displaystyle{ T }[/math]. Получится многообразие, край которого разложен в произведение [math]\displaystyle{ S^{k-1}\times S^{n-k} }[/math] сфер. Точно такой же край имеет многообразие [math]\displaystyle{ D^{k}\times S^{n-k} }[/math]. Отождествив края этих многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения снова получим многообразие [math]\displaystyle{ V' }[/math] без края, которое и называется результатом хирургии многообразия [math]\displaystyle{ V }[/math] вдоль сферы [math]\displaystyle{ S^{k-1} }[/math].

Для осуществления хирургии необходимо задать разложение окрестности [math]\displaystyle{ T }[/math] сферы [math]\displaystyle{ S^{k-1} }[/math] в прямое произведение, то есть тривиализацию нормального расслоения сферы [math]\displaystyle{ S^{k-1} }[/math] в многообразии [math]\displaystyle{ V }[/math], при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия [math]\displaystyle{ V' }[/math].

Число [math]\displaystyle{ k }[/math] называется индексом хирургии, а пара [math]\displaystyle{ (k, n-k+1) }[/math] её типом. Если [math]\displaystyle{ V' }[/math] получается из [math]\displaystyle{ V }[/math] хирургией типа [math]\displaystyle{ (i, j) }[/math], то [math]\displaystyle{ V }[/math] получается из [math]\displaystyle{ V' }[/math] хирургией типа [math]\displaystyle{ (j,i) }[/math]. При [math]\displaystyle{ k=0 }[/math] многообразие [math]\displaystyle{ V' }[/math] является дизъюнктным объединением многообразия [math]\displaystyle{ V }[/math] (которое может быть в этом случае пустым) и сферы [math]\displaystyle{ S^n }[/math].

Примеры

При [math]\displaystyle{ V=S^2 }[/math] и [math]\displaystyle{ k=2 }[/math] в результате хирургии получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при [math]\displaystyle{ k=1 }[/math] — тор.
При [math]\displaystyle{ V= S^3 }[/math] и [math]\displaystyle{ k= 2 }[/math] получается произведение [math]\displaystyle{ S^1\times S^2 }[/math].
Случай [math]\displaystyle{ V=S^3 }[/math] и [math]\displaystyle{ k=1 }[/math] сложнее: если сфера [math]\displaystyle{ S^1 }[/math] вложена в [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора её тривиализации нормального расслоения получаются линзовые пространства; если же допустить заузливание сферы [math]\displaystyle{ S^1 }[/math], то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.

Свойства

Если [math]\displaystyle{ V }[/math] является краем [math]\displaystyle{ (n+1) }[/math]-мерного многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math], то [math]\displaystyle{ V' }[/math] будет краем многообразия [math]\displaystyle{ M' }[/math], полученного из [math]\displaystyle{ M }[/math] приклеиванием ручки индекса [math]\displaystyle{ k }[/math].
- В частности, если [math]\displaystyle{ f }[/math] — гладкая функция на многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math] — такие числа, что множество [math]\displaystyle{ f^{-1}([a,b]) }[/math] компактно и содержит единственную критическую точку [math]\displaystyle{ p }[/math], которая невырождена, то многообразие [math]\displaystyle{ V_b=f^{-1}(b) }[/math] получается из многообразия [math]\displaystyle{ V_a=f^{-1}(a) }[/math] хирургией индекса [math]\displaystyle{ k }[/math], где [math]\displaystyle{ k }[/math] — индекс Морса критической точки [math]\displaystyle{ p }[/math].
- Более общим образом, любая перестройка [math]\displaystyle{ V' }[/math] многообразия [math]\displaystyle{ V }[/math] индекса [math]\displaystyle{ k }[/math] определяет некоторый бордизм [math]\displaystyle{ (W; V, V') }[/math], и на триаде [math]\displaystyle{ (W; V, V') }[/math] существует
функция Морса, обладающая единственной критической точкой индекса [math]\displaystyle{ k }[/math], причем любой бордизм [math]\displaystyle{ (W; V, V') }[/math], на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом.
- Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью хирургий.
При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат хирургии ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием.

Вариации и обобщения

Конструкция хирургии может быть проведена также для кусочно-линейных и топологических многообразий.